B12.php

<!-- 以下は、PHP を用いて方程式 $x^3 + x = N$ を満たす正の実数 $x$ を求めるプログラムです。
**型を明示的に記述しつつ、処理時間およびメモリ使用量にも配慮**しています。

## ✅ 解法方針：二分探索（Binary Search）

* $f(x) = x^3 + x$ は単調増加 ⇒ 二分探索で一意に解を求められる。
* 精度は **絶対誤差または相対誤差 ≤ 0.001** で十分。
* 反復回数を固定（例：100回）とすることで、誤差 $\leq 10^{-6}$ を保証。

## ✅ PHP 実装（型付きコメント付き）
<?php
declare(strict_types=1);

// 入力読み込み
$input = trim(fgets(STDIN));
$N = floatval($input);

// 初期範囲の設定（型明示: float）
$low = 0.0;
$high = max(1.0, $N);
$mid = 0.0;

// 二分探索：誤差 0.001 以下まで収束
for ($i = 0; $i < 100; $i++) {
    $mid = ($low + $high) / 2.0;
    $f = $mid * $mid * $mid + $mid; // f(x) = x^3 + x

    if ($f > $N) {
        $high = $mid;
    } else {
        $low = $mid;
    }
}

// 結果出力（小数第6位まで）
printf("%.6f\n", $mid);

// ## ✅ 入出力例

// ### 入力:

// ```
// 2
// ```

// ### 出力:

// ```
// 1.000000
// ```

// ---

// ## ✅ 処理時間・メモリ消費量（目安）

// | 指標     | 内容                     |
// | ------ | ---------------------- |
// | 時間計算量  | $O(\log N)$（最大100ステップ） |
// | 実行時間   | 約 1～3 ms（PHP 8.x CLI）  |
// | メモリ使用量 | 数 MB 程度（浮動小数とループのみ）    |

// ---

// ## ✅ なぜ100回ループするのか？

// * 各ステップで範囲は半分になる（二分探索）。
// * $2^{-20} ≈ 10^{-6}$ ⇒ **20～30回で十分**。
// * **100回回せば誤差 0.001 以下が保証**される。

// ---

// ## ✅ 型の明示（PHP ではコメントベース）

// PHP 8 では以下のような明示が可能：

// ```php
// /** @var float $low */
// /** @var float $high */
// /** @var float $mid */
// ```

// ---

// ## ✅ グラフのイメージ（探索）

// ```
// y = x^3 + x  のグラフ

//   y
//   ^
//   |                             ●
//   |                        ●
//   |                   ●
//   |              ●
//   |         ●
//   |    ●
//   |●
//   +----------------------------→ x

//  探索範囲が収束：
//  [0 .............. N]
//  [0 ....... mid]
//  [mid ... high]
//    ︙
//  [1.0000 ± ε]
// ```

// ---

// ご希望があれば、BCMath による任意精度演算対応や、PHPUnit を使ったテストコードの追加も可能です。