atcoder B34 - Game 7 Nimゲーム + Grundy数周期活用

Author: myoshi2891

Algorithm/Other/at coder/Grundy number/atcoder/B34/B34.go

@@ -0,0 +1,142 @@
+// 以下は、**Go 1.20.6** に対応した `X=2, Y=3` 固定の Nim型取り石ゲームにおける
+// **正確・高速・メモリ効率良好** な解法です。
+
+// ---
+
+// ## ✅ 解法方針
+
+// * `X=2`, `Y=3` の場合、Grundy数は **mod 5 で周期性**がある。
+// * 各山の石数 $A_i$ に対し、Grundy数 $G(A_i) = grundy[A_i \mod 5]$ を求め、XOR を取る。
+// * XOR 和が `0` → **後手勝利（"Second"）**
+//   XOR 和が `≠0` → **先手勝利（"First"）**
+
+// ---
+
+// ## ✅ Goコード（コメント付き、型注釈、処理時間・メモリ考慮）
+
+// ```go
+package main
+
+import (
+	"bufio"
+	"fmt"
+	"os"
+	"strconv"
+)
+
+// determineWinner 判定関数：取り石ゲームの勝者を返す
+//
+// 引数:
+//   A []int64 : 各山の石の個数
+//
+// 戻り値:
+//   string : "First" または "Second"
+//
+// 計算量:
+//   時間計算量: O(N)
+//   空間計算量: O(1)（Grundyテーブルのみ使用）
+func determineWinner(A []int64) string {
+	// Grundy数: X=2, Y=3 のとき周期5で以下の通り
+	grundyMod := [5]int{0, 0, 1, 1, 2}
+
+	xorSum := 0
+	for _, a := range A {
+		g := grundyMod[a%5]
+		xorSum ^= g
+	}
+
+	if xorSum == 0 {
+		return "Second"
+	}
+	return "First"
+}
+
+func main() {
+	scanner := bufio.NewScanner(os.Stdin)
+	scanner.Split(bufio.ScanWords)
+
+	// readInt reads the next token and converts it to int
+	readInt := func() int {
+		scanner.Scan()
+		v, _ := strconv.Atoi(scanner.Text())
+		return v
+	}
+
+	// readInt64 reads the next token and converts it to int64
+	readInt64 := func() int64 {
+		scanner.Scan()
+		v, _ := strconv.ParseInt(scanner.Text(), 10, 64)
+		return v
+	}
+
+	N := readInt() // number of mountains
+	_ = readInt()  // X (unused, fixed = 2)
+	_ = readInt()  // Y (unused, fixed = 3)
+
+	A := make([]int64, N)
+	for i := 0; i < N; i++ {
+		A[i] = readInt64()
+	}
+
+	result := determineWinner(A)
+	fmt.Println(result)
+}
+
+// ## ✅ 処理例（標準入力）
+
+// ```
+// 2 2 3
+// 5 8
+// ```
+
+// → 出力
+
+// ```
+// First
+// ```
+
+// ---
+
+// ## ✅ Grundy数とXORの仕組み（図解）
+
+// | A\[i] | A\[i] % 5 | Grundy\[A\[i] % 5] |
+// | ----- | --------- | ------------------ |
+// | 5     | 0         | 0                  |
+// | 8     | 3         | 1                  |
+
+// XOR: `0 ^ 1 = 1` → 非0 → **"First"**
+
+// ---
+
+// ## ✅ 時間・空間効率まとめ
+
+// | 指標    | 内容                  |
+// | ----- | ------------------- |
+// | 時間計算量 | O(N)                |
+// | 空間計算量 | O(1)（配列 + 定数）       |
+// | 最大N   | 100,000（問題制約）       |
+// | Ai最大  | 10^18（int64で安全に扱える） |
+
+// ---
+
+// ## ✅ 使用した言語仕様
+
+// * `bufio.Scanner`：高速な標準入力処理
+// * `strconv.ParseInt`：10^18 に対応するために `int64` を使用
+// * `make([]int64, N)`：O(N) 入力配列
+
+// ---
+
+// ## ✅ 拡張可能な点
+
+// * 任意の `X, Y` に対して Grundy数の `mex()` を動的に計算する汎用化
+// * 動的メモ化（`map[int64]int`）で周期発見の自動化
+// * テストファイルの標準入力対応
+
+// ---
+
+// 必要であれば：
+
+// * テスト用入力ファイルの作成コード
+// * 任意 `X`, `Y` に対応する汎用Nim解法
+//   などもお手伝いできます！

Algorithm/Other/at coder/Grundy number/atcoder/B34/B34.js

@@ -0,0 +1,120 @@
+
+// ## ✅ 本問題の正しい解法方針（完全版）
+
+// この問題は **X=2, Y=3** 固定の **Nim変形ゲーム** で、山ごとに以下を判定します。
+
+// ---
+
+// ## 🔍 観察：Grundy数の構造
+
+// 石の山ごとに Grundy 数（勝敗情報）を定義し、次のような遷移で定義できます。
+
+// * Grundy(0) = 0
+// * Grundy(n) = `mex({Grundy(n - 2), Grundy(n - 3)})` if n ≥ 2
+
+// これを手元で大きな数まで出力してみると、実は：
+
+// > **X=2, Y=3 のとき、Grundy 数列は 5 を周期として完全に繰り返します！**
+
+// つまり：
+
+// ```
+// n mod 5 → Grundy(n)
+// 0       → 0
+// 1       → 0
+// 2       → 1
+// 3       → 1
+// 4       → 2
+// 5       → 0
+// 6       → 0
+// ...
+// ```
+
+// ---
+
+// ## ✅ 完全に正しい最適解（周期性を利用、計算量 O(N)）
+
+// ```javascript
+const fs = require('fs');
+
+/**
+ * 指定された石山数列に対して、X=2, Y=3 の Nimゲームの勝敗を判定
+ * @param {bigint[]} A - 各山の石の数（BigIntで扱う）
+ * @returns {string} - 勝者 "First" または "Second"
+ */
+function solve(A) {
+  // X=2, Y=3 における Grundy 数列は 5 を周期とする
+  const grundyMod = [0, 0, 1, 1, 2]; // index = n % 5 → Grundy数
+
+  let xorSum = 0;
+  for (const ai of A) {
+    const g = grundyMod[Number(ai % 5n)];
+    xorSum ^= g;
+  }
+
+  return xorSum === 0 ? 'Second' : 'First';
+}
+
+// --- 入出力処理 ---
+function main() {
+  const input = fs.readFileSync('/dev/stdin', 'utf8').trim().split(/\s+/);
+  const N = Number(input[0]);
+  const A = input.slice(3).map(BigInt); // A1〜AN は BigInt 型で読む
+
+  const result = solve(A);
+  console.log(result);
+}
+
+main();
+
+// ## ✅ 証明される正しさの根拠
+
+// * `X = 2, Y = 3` の Grundy 数は **周期5** を持つ（実験的＋理論的に確認）。
+// * `mex` による遷移が `{Grundy(n-2), Grundy(n-3)}` から得られる。
+// * すべての山に対して `Grundy(n) % 5` を見れば十分。
+// * 最終的な勝敗は Nim 和（XOR）によって判定。
+
+// ---
+
+// ## ✅ 実行時間・メモリ使用量
+
+// * **時間計算量**: O(N)（最大 100000 個でも即時）
+// * **空間計算量**: O(1)（Grundy配列固定サイズ）
+
+// ---
+
+// ## ✅ 入力例テスト
+
+// ### 入力例1
+
+// ```
+// 2 2 3
+// 5 8
+// ```
+
+// `5 % 5 = 0 → 0`, `8 % 5 = 3 → 1`, XOR = 1 → First
+
+// ✅ 出力: `First`
+
+// ### 入力例2
+
+// ```
+// 2 2 3
+// 7 8
+// ```
+
+// `7 % 5 = 2 → 1`, `8 % 5 = 3 → 1`, XOR = 0 → Second
+
+// ✅ 出力: `Second`
+
+// ---
+
+// ## ✅ この修正版は「全ケース正答」します
+
+// * 入力石数が最大 `10^18` → `BigInt` で対応。
+// * Grundy数列が完全に周期5なので、完全に正しい。
+// * **競技プログラミング（AtCoder A34改）形式の全ケースに対し、確実に正答**します。
+
+// ---
+
+// 必要に応じて、**Grundy数列生成のコード**や、**Y≠3 の場合にも対応する汎用実装**もご提供できます。ご希望があればお申し付けください。

Algorithm/Other/at coder/Grundy number/atcoder/B34/B34.php

@@ -0,0 +1,125 @@
+<!-- 以下は、**PHP 8.2.8** で動作する、X=2, Y=3 固定の **取り石ゲーム（Nim型ゲーム）** における
+**完全正解・高速処理対応の解法**です。
+
+---
+
+## ✅ 解法のポイント
+
+* 各山の石の数に対し、Grundy数（勝ち負け判定用の数）を求める。
+* `X = 2, Y = 3` の場合、Grundy数は **mod 5で周期がある（周期5）**。
+* 各山のGrundy数を XOR し、最終的に XOR合計が `0` → 後手勝利、≠0 → 先手勝利。
+
+---
+
+## ✅ PHPコード（型注釈付き・メモリ＆処理時間最適化）
+
+```php -->
+<?php
+declare(strict_types=1);
+
+/**
+ * 与えられた石の山に対して、X=2, Y=3 の取り石ゲームの勝者を判定する。
+ *
+ * @param array<int> $A 各山の石の個数（最大 10^18 まで対応）
+ * @return string 勝者 "First" または "Second"
+ *
+ * 時間計算量: O(N)
+ * 空間計算量: O(1)
+ */
+function determineWinner(array $A): string {
+    $grundyMod = [0, 0, 1, 1, 2];
+
+    $xorSum = 0;
+    foreach ($A as $a) {
+        $mod = bcmod((string)$a, '5'); // $a % 5 を大整数用に処理
+        $g = $grundyMod[(int)$mod];
+        $xorSum ^= $g;
+    }
+
+    return $xorSum === 0 ? 'Second' : 'First';
+}
+/**
+ * 標準入力からデータを読み込み、勝者を出力するメイン関数
+ *
+ * 入力形式:
+ * N X Y
+ * A1 A2 ... AN
+ *
+ * 出力:
+ * First または Second
+ */
+function main(): void {
+    $input = trim(file_get_contents('php://stdin'));
+    $tokens = preg_split('/\s+/', $input);
+
+    $N = (int)$tokens[0];
+    // $tokens[1], $tokens[2] は X=2, Y=3 固定のため無視
+    $A = array_slice($tokens, 3, $N); // string配列（大きい整数も含む）
+
+    $result = determineWinner($A);
+    echo $result . PHP_EOL;
+}
+
+main();
+// ```
+
+// ---
+
+// ## ✅ 解説（図付き）
+
+// ### Grundy数周期（X=2, Y=3）
+
+// | 石の数 % 5 | Grundy数 |
+// | ------- | ------- |
+// | 0       | 0       |
+// | 1       | 0       |
+// | 2       | 1       |
+// | 3       | 1       |
+// | 4       | 2       |
+
+// ```plaintext
+// 例:
+// A = [5, 8]
+// 5 % 5 = 0 → Grundy = 0
+// 8 % 5 = 3 → Grundy = 1
+// XOR = 0 ^ 1 = 1 → 先手勝利 → "First"
+// ```
+
+// ---
+
+// ## ✅ 入力・出力例
+
+// ### 入力（標準入力）
+
+// ```
+// 2 2 3
+// 5 8
+// ```
+
+// ### 出力
+
+// ```
+// First
+// ```
+
+// ---
+
+// ## ✅ 性能について
+
+// | 項目    | 内容                          |
+// | ----- | --------------------------- |
+// | 時間計算量 | O(N)（最大 100,000 山でも余裕）      |
+// | 空間計算量 | O(1)（定数テーブルのみ）              |
+// | メモリ使用 | \$A 配列 + 5要素の Grundy テーブルのみ |
+// | 数値精度  | `bcmod` で 10^18 まで安全に処理可能   |
+
+// ---
+
+// ## ✅ 拡張対応可能
+
+// * 任意の `X`, `Y` に対応する汎用Grundy数構築
+// * `bcadd`, `bcsub` などと組み合わせてより複雑な処理へ発展可能
+
+// ---
+
+// ご希望があれば、テスト用コードや `X, Y` が任意入力の拡張版などもご提供可能です！