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+ アルゴリズム概要
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+ 問題の説明
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+ 整数 n が与えられたとき、
+ 1 から n
+ までの連続整数をすべて使って構成できる「構造的に異なる二分探索木（BST）」の個数を返す問題です。
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+ 入出力例
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Example 1:
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Input: n = 3
+Output: 5
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+ 解説: n=3 のとき、構造的に異なるBSTは5通り存在します。
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Example 2:
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Input: n = 1
+Output: 1
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制約条件
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+ 戦略
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+ 数学的背景: この問題は「n 番目のカタラン数
+ Cₙ」を求める問題に帰着される
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+ -
+ 漸化式の利用: C₀ = 1、Cₙ = Cₙ₋₁ × 2(2n - 1) / (n + 1)
+ を利用
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+ - ループ実装: 再帰やDP配列を使わず、O(1) 空間で計算
+ -
+ 整数演算: Python の整数除算
// で誤差なく計算
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+ 主要ポイント
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+ - 時間計算量: O(n) - ループが n 回実行
+ - 空間計算量: O(1) - 変数 c, i のみ使用
+ - 最適化手法: DP配列不要、再帰不要、定数空間で計算
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+ Python実装
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+ class Solution:
+ """
+ Unique Binary Search Trees 問題を解くクラス。
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+ カタラン数の漸化式を用いてO(n)/O(1)で計算。
+ """
+
+ def numTrees(self, n: int) -> int:
+ """
+ LeetCode用エントリポイント（競技プログラミング向け実装）。
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+ Args:
+ n: ノード数 (1 <= n <= 19)
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+ Returns:
+ 構造的に異なるBSTの個数
+
+ Complexity:
+ Time: O(n)
+ Space: O(1)
+ """
+ # カタラン数の漸化式: C_0 = 1
+ c: int = 1
+
+ # C_n = C_{n-1} * 2(2n - 1) / (n + 1)
+ for i in range(1, n + 1):
+ # 整数除算で誤差なく計算
+ c = c * 2 * (2 * i - 1) // (i + 1)
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+ return c
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+ フローチャート
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+ フローの説明：
+ 1. 初期化: c = 1 で開始（C₀の値）
+ 2. ループ開始: i = 1 から n まで反復
+ 3. 条件分岐: i <= n
+ であれば処理を続行、そうでなければ終了
+ 4. 漸化式適用: c = c × 2(2i - 1) ÷ (i + 1) を計算
+ 5. インクリメント: i を1増やす
+ 6. ループバック: 条件分岐に戻る（紫の矢印）
+ 7. 終了: ループ完了後、c を返す
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+ 計算量分析
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+ 項目
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+ 計算量
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+ 備考
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+ | 時間 |
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+ O(n)
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+ ループが n 回実行され、各ステップは定数時間
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+ | 空間 |
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+ O(1)
+ |
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+ 変数 c, i のみ使用（配列不要）
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他手法との比較
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+ アプローチ
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+ 時間
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+ 空間
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+ 備考
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+ 漸化式（本実装）
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+ O(n)
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+ O(1)
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+ 最もシンプルで高速
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+ | DP配列 |
+ O(n²) |
+ O(n) |
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+ 定義に忠実だが遅い
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+ | 再帰+メモ化 |
+ O(n²) |
+ O(n) |
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+ 関数呼び出しオーバーヘッド
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