+ 素因数分解と累乗剰余による O(√p + k·d·log p) 実装 +
++ 原始根（Primitive Root）とは、素数 p に対して、g の累乗 + g1, g2, ..., gp-1 を p + で割った余りが、すべて異なる値になるような整数 g のことです。 +
++ 例えば p = 7 の場合、g = 3 は以下のように原始根になります： +
++ これらはすべて異なる値（1, 2, 3, 4, 5, 6）になるため、3 は 7 + の原始根です。 +
+73 2+ 7 の原始根は 3 と 5 の2つあり、最小は 3 です。 +
++ 原始根を効率的に判定するために、数学的な性質を活用します： +
+#!/bin/python3
+
+import math
+import os
+import random
+import re
+import sys
+
+from typing import List
+
+def prime_factors(n: int) -> List[int]:
+ """
+ nの素因数をリストで返す（重複なし）
+
+ Time Complexity: O(√n)
+ """
+ factors = []
+ # 2で割り切れる場合
+ if n % 2 == 0:
+ factors.append(2)
+ while n % 2 == 0:
+ n //= 2
+
+ # 3以降の奇数でチェック
+ i = 3
+ while i * i <= n:
+ if n % i == 0:
+ factors.append(i)
+ while n % i == 0:
+ n //= i
+ i += 2
+
+ # nが1より大きければ、それ自体が素数
+ if n > 1:
+ factors.append(n)
+
+ return factors
+
+def is_primitive_root(g: int, p: int, prime_divisors: List[int]) -> bool:
+ """
+ gがpの原始根かどうかを判定
+
+ Args:
+ g: 判定対象の整数
+ p: 素数
+ prime_divisors: (p-1)の素因数リスト
+
+ Returns:
+ gが原始根ならTrue
+
+ Time Complexity: O(d·log p) where d = len(prime_divisors)
+ """
+ phi = p - 1
+
+ # 各素因数qについて、g^((p-1)/q) ≢ 1 (mod p) を確認
+ for q in prime_divisors:
+ if pow(g, phi // q, p) == 1:
+ return False
+
+ return True
+
+def euler_phi(n: int) -> int:
+ """
+ オイラーのトーシェント関数 φ(n) を計算
+
+ Time Complexity: O(√n)
+ """
+ result = n
+ p = 2
+ while p * p <= n:
+ if n % p == 0:
+ while n % p == 0:
+ n //= p
+ result -= result // p
+ p += 1
+
+ if n > 1:
+ result -= result // n
+
+ return result
+
+def solve_competitive(p: int) -> tuple:
+ """
+ 競技プログラミング向け実装
+
+ Args:
+ p: 素数
+
+ Returns:
+ (最小原始根, 原始根の総数)
+
+ Time Complexity: O(√p + k·d·log p)
+ where k = 最小原始根の値, d = (p-1)の素因数の個数
+ Space Complexity: O(d)
+ """
+ # (p-1)の素因数を求める
+ prime_divisors = prime_factors(p - 1)
+
+ # 最小原始根を探索
+ smallest_root = 0
+ for g in range(2, p):
+ if is_primitive_root(g, p, prime_divisors):
+ smallest_root = g
+ break
+
+ # 原始根の総数 = φ(p-1)
+ total_count = euler_phi(p - 1)
+
+ return smallest_root, total_count
+
+if __name__ == '__main__':
+ p = int(input().strip())
+
+ smallest, total = solve_competitive(p)
+ print(f"{smallest} {total}")
++ 📋 ステップバイステップの流れ： +
+
+ 💡 初学者向けポイント：
+ • ループAは候補 g を順番にチェックする外側のループ
+ • ループBは各素因数 q で判定する内側のループ
+ • ループバックの矢印は g++ 後に判定ステップに戻ることを示す
+ • ステップ番号で処理の順序が一目でわかる
+
| + 項目 + | ++ 本実装 + | ++ 全探索（素朴） + | ++ 備考 + | +
|---|---|---|---|
| + 時間計算量 + | +
+ O(√p + k·d·log p)
+ |
+
+ O(p²·log p)
+ |
+
+ k = 最小原始根（通常小さい） + d = (p-1)の素因数個数 + |
+
| + 空間計算量 + | +
+ O(d)
+ |
+
+ O(p)
+ |
+ + 素因数リストのみ保存 + | +
| + 実装コスト + | ++ 中 + | ++ 低 + | ++ 素因数分解が必要 + | +
| + p=10⁹での実用性 + | ++ ◎ 高速 + | ++ × TLE + | ++ 制約の上限で性能差が顕著 + | +