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Dev from macmini #207

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Nov 15, 2025
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Dev from macmini #207

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b2b5ae0
SQL: Basic Join 1068. Product Sales Analysis I
myoshi2891 Nov 15, 2025
cdd17eb
Math: Algebra Difference and Product - 絶対差と積で数える整数対
myoshi2891 Nov 15, 2025
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357 changes: 357 additions & 0 deletions Mathematics/Algebra/HackerRank/Easy/Difference and Product/Difference_and_Product.ipynb
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Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -0,0 +1,357 @@
{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0805330f",
"metadata": {},
"source": [
"# Difference and Product - 絶対差と積で数える整数対\n",
"\n",
"* **プラットフォーム**: HackerRank\n",
"* **問題ID**: Difference and Product\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"## 目次\n",
"\n",
"* [概要](#overview)\n",
"* [アルゴリズム要点 (TL;DR)](#tldr)\n",
"* [図解](#figures)\n",
"* [証明のスケッチ](#proof)\n",
"* [計算量](#complexity)\n",
"* [Python 実装](#impl)\n",
"* [CPython 最適化ポイント](#cpython)\n",
"* [エッジケースと検証](#edgecases)\n",
"* [FAQ](#faq)\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"overview\">概要</h2>\n",
"\n",
"* **問題要約**: 整数 $d$ と $p$ が与えられる。$|x-y|=d$ かつ $xy=p$ を満たす**有序**整数対 $(x,y)$ の個数を求める。\n",
"* **入出力仕様（簡潔）**:\n",
"\n",
" * 入力: $T$ テスト、各行に $d\\ p$\n",
" * 出力: 各テストについて解の個数（整数）\n",
"* **関数シグネチャ（HackerRank 準拠・必須）**: `solve(d: int, p: int) -> int`\n",
"* **想定データ構造**: 単一の整数演算のみ（補助配列不要）\n",
"* **代表例**:\n",
"\n",
" * $d=1,\\ p=2 \\Rightarrow 4$\n",
" * $d=0,\\ p=4 \\Rightarrow 2$\n",
" * $d=-1,\\ p=1 \\Rightarrow 0$\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"tldr\">アルゴリズム要点 (TL;DR)</h2>\n",
"\n",
"* 和差変数を導入する：$s=x+y,\\ t=x-y$。すると\n",
" $$\n",
" |t|=d \\quad\\text{かつ}\\quad xy=\\frac{s^2-t^2}{4}=p \\ \\Rightarrow\\ s^2=4p+d^2\n",
" $$\n",
"* $N=4p+d^2$ とおく。$N$ が**完全平方**でなければ解は $0$。\n",
"* $q=\\sqrt{N}$（整数）とすると、$s\\in{\\pm q}$、$t\\in{d,-d}$。\n",
"\n",
" * $q>0$ なら $s$ は $2$ 通り、$q=0$ なら $1$ 通り。\n",
" * $d>0$ なら $t$ は $2$ 通り、$d=0$ なら $1$ 通り。\n",
"* よって個数は\n",
" $$\n",
" \\bigl(1 + \\mathbf{1}*{q>0}\\bigr)\\times \\bigl(1 + \\mathbf{1}*{d>0}\\bigr)\n",
" $$\n",
"* ただし $d<0$ は $|x-y|=d$ を満たせないため常に $0$。\n",
"* **計算量**: 時間 $O(1)$、空間 $O(1)$（`math.isqrt` による完全平方判定）。\n",
"\n",
"式変形と「通り数の数え方」が腑に落ちるよう、ステップごとに具体化します。数式は KaTeX で再掲し、ミニ例も置きます。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"## 補足解説：TL;DR の具体化\n",
"\n",
"### 1) なぜ和差変数にするのか\n",
"\n",
"元の条件は\n",
"\n",
"* 差の条件：$|x-y|=d$\n",
"* 積の条件：$xy=p$\n",
"\n",
"これを\n",
"$$\n",
"s=x+y,\\quad t=x-y\n",
"$$\n",
"に置き換えると、$x$ と $y$ を $s,t$ から\n",
"$$\n",
"x=\\frac{s+t}{2},\\quad y=\\frac{s-t}{2}\n",
"$$\n",
"で一意に復元できます（順序付きなので $(s,t)$ が変われば一般に $(x,y)$ も変わる）。\n",
"\n",
"差の条件はただちに $|t|=d$、つまり $t\\in{d,-d}$ と書けます。\n",
"\n",
"積の条件は\n",
"$$\n",
"xy=\\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\\frac{s^2-t^2}{4}=p\n",
"$$\n",
"で、これを $s$ について解けば\n",
"$$\n",
"s^2=t^2+4p\n",
"$$\n",
"ここで $|t|=d$ を代入すると\n",
"$$\n",
"s^2=4p+d^2\n",
"$$\n",
"\n",
"### 2) 「完全平方」でなければ即 0\n",
"\n",
"$$\n",
"N = 4p+d^2\n",
"$$\n",
"と置くと、上の式は $s^2=N$。$s$ は整数なので、$N$ が**完全平方**でなければ整数 $s$ は存在せず、解は $0$ です。\n",
"（補足：$N<0$ のときも当然 $s^2=N$ は不可能なので $0$。）\n",
"\n",
"### 3) $s$ と $t$ の候補数を掛け合わせるだけ\n",
"\n",
"$N$ が完全平方なら $q=\\sqrt{N}\\in\\mathbb{Z}$ が存在します。このとき\n",
"$$\n",
"s\\in{+q,-q},\\quad t\\in{d,-d}.\n",
"$$\n",
"\n",
"* $q>0$ なら $s$ は ${+q,-q}$ の **2 通り**。\n",
"* $q=0$ なら $s=0$ の **1 通り**（$+0$ と $-0$ は同じ）。\n",
"* $d>0$ なら $t$ は ${+d,-d}$ の **2 通り**。\n",
"* $d=0$ なら $t=0$ の **1 通り**（絶対値が 0 のときは符号の分岐がありません）。\n",
"\n",
"よって通り数は\n",
"$$\n",
"\\bigl(1+\\mathbf{1}*{q>0}\\bigr)\\times\\bigl(1+\\mathbf{1}*{d>0}\\bigr),\n",
"$$\n",
"つまり\n",
"\n",
"* $q>0$ なら $s$ 側が $2$、$q=0$ なら $1$\n",
"* $d>0$ なら $t$ 側が $2$、$d=0$ なら $1$\n",
" を掛け合わせた個数になります。\n",
"\n",
"> 注：$d<0$ の入力は、そもそも $|x-y|=d$ を満たせないので **常に 0**。\n",
"\n",
"### 4) 偶奇（パリティ）の心配は要らない理由\n",
"\n",
"$x=\\dfrac{s+t}{2},,y=\\dfrac{s-t}{2}$ が整数になるには、$s$ と $t$ の偶奇が一致している必要があります。\n",
"ここで $t=\\pm d$、$s^2=4p+d^2$ より\n",
"$$\n",
"s^2 \\equiv d^2 \\pmod{4}\n",
"$$\n",
"が成り立つので、$s$ と $d$ は同じ偶奇になります。よって $t=\\pm d$ とも偶奇一致し、$x,y$ は必ず整数になります。\n",
"（完全平方を満たした時点で偶奇条件は自動で通ります。）\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"## ミニ例で確認\n",
"\n",
"### 例1：$d=1,\\ p=2$\n",
"\n",
"* $N=4p+d^2=8+1=9$ は完全平方、$q=3>0$。\n",
"* $s\\in{+3,-3}$（2 通り）、$t\\in{+1,-1}$（2 通り）で合計 $2\\times 2=4$。\n",
"* 復元してみると\n",
" $$\n",
" (s,t)=(3,1)\\Rightarrow (x,y)=\\Bigl(\\frac{3+1}{2},\\frac{3-1}{2}\\Bigr)=(2,1) \\\n",
" (3,-1)\\Rightarrow (2,-1) \\\n",
" (-3,1)\\Rightarrow (-1,-2) \\\n",
" (-3,-1)\\Rightarrow (-2,-1)\n",
" $$\n",
" で確かに 4 通り。\n",
"\n",
"### 例2：$d=0,\\ p=4$\n",
"\n",
"* $N=4p+d^2=16$、$q=4>0$。\n",
"* $s$ は 2 通り（$\\pm 4$）、$t$ は 1 通り（$0$）なので合計 $2\\times 1=2$。\n",
"* 復元：$(s,t)=(4,0)\\Rightarrow (2,2)$、$(-4,0)\\Rightarrow (-2,-2)$。\n",
"\n",
"### 例3：$d=-1,\\ p=1$\n",
"\n",
"* $d<0$ は不可能なので即 $0$。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"## つまずきポイント早見\n",
"\n",
"* **$q=0$ を 2 通りと数えない**：$s=\\pm 0$ は同一。\n",
"* **$d=0$ を 2 通りと数えない**：$t=\\pm 0$ は同一。\n",
"* **完全平方チェックだけで十分**：満たせば偶奇も自動で揃う。\n",
"* **順序対であることに注意**：$t$ の符号違いで $(x,y)$ の順序が入れ替わるため、$d>0$ なら $t$ 側で 2 通りが立つ。\n",
"\n",
"これで、TL;DR の各 bullet が「なぜそう数えるか」までクリアになるはずです。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"figures\">図解</h2>\n",
"\n",
"**フローチャート（式変形の流れ）**\n",
"\n",
"```mermaid\n",
"flowchart TD\n",
" Start[開始]\n",
" Eq1[\"和差の導入 s=x+y, t=x-y\"]\n",
" Transform[\"積の式変形で s^2=4p+d^2\"]\n",
" CheckSquare[N が完全平方か判定]\n",
" Count[s,t の通り数を積]\n",
" Output[個数を出力]\n",
"\n",
" Start --> Eq1\n",
" Eq1 --> Transform\n",
" Transform --> CheckSquare\n",
" CheckSquare --> Count\n",
" Count --> Output\n",
"```\n",
"\n",
"*説明*: 和差変数で二次式に落としてから、完全平方かどうかのみを判定し、$s$ と $t$ の選択肢の積で個数を得る。\n",
"\n",
"**データフロー（入力から結果まで）**\n",
"\n",
"```mermaid\n",
"graph LR\n",
" A[\"入力 d,p\"]\n",
" B[\"N=4p+d^2\"]\n",
" C[\"q=isqrt(N)\"]\n",
" D[完全平方チェック]\n",
" E[個数計算]\n",
" F[出力]\n",
"\n",
" A --> B\n",
" B --> C\n",
" C --> D\n",
" D --> E\n",
" E --> F\n",
"```\n",
"\n",
"*説明*: $N$ の計算と整数平方根での完全平方判定を経て、通り数の直積で答えを得る。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"proof\">証明のスケッチ</h2>\n",
"\n",
"* **設定**: $s=x+y,\\ t=x-y$ とする。$|t|=d$ より $t\\in{d,-d}$。\n",
"* **主要式**: $xy=\\dfrac{s^2-t^2}{4}=p$ より $s^2=4p+d^2$。\n",
"* **必要十分性**:\n",
"\n",
" * $N=4p+d^2$ が完全平方であれば $q=\\sqrt{N}\\in\\mathbb{Z}$ が存在し、$s\\in{\\pm q}$ を取れる。\n",
" * $t\\in{d,-d}$ と組にすれば\n",
" $$\n",
" x=\\frac{s+t}{2},\\quad y=\\frac{s-t}{2}\n",
" $$\n",
" は整数となる（$s^2\\equiv d^2 \\pmod{4}$ が成り立ち、$s$ と $d$ の偶奇が一致するため）。\n",
" * 逆に $N$ が完全平方でなければ整数 $s$ は存在せず、よって解は存在しない。\n",
"* **計数**:\n",
"\n",
" * $q>0$ のとき $s$ は $2$ 通り、$q=0$ のとき $1$ 通り。\n",
" * $d>0$ のとき $t$ は $2$ 通り、$d=0$ のとき $1$ 通り。\n",
" * よって個数は $\\left(1+\\mathbf{1}*{q>0}\\right)\\left(1+\\mathbf{1}*{d>0}\\right)$。\n",
"* **基底ケース**:\n",
"\n",
" * $d<0$ は $|x-y|=d$ が不可能なので $0$。\n",
" * $d=0,\\ p=0$ では $N=0$、$q=0$、$s=0,\\ t=0$ の一組 $(0,0)$ のみで $1$。\n",
"* **終了性**: 各判定は有限個の整数演算のみで完了する。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"complexity\">計算量</h2>\n",
"\n",
"* **時間計算量**: $O(1)$\n",
"* **空間計算量**: $O(1)$\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"impl\">Python 実装</h2>\n",
"\n",
"> 注: HackerRank では関数ベースで採点されます。下記は **CPython 3.13.3** 想定、型注釈付き、純粋関数です。スタブ（入出力処理）はプラットフォーム側に従ってください。\n",
"\n",
"```python\n",
"from __future__ import annotations\n",
"from typing import Final\n",
"import math\n",
"\n",
"def solve(d: int, p: int) -> int:\n",
" \"\"\"\n",
" |x - y| = d かつ x*y = p を満たす有序整数対 (x,y) の個数を返す。\n",
"\n",
" 数式対応（本文の KaTeX と対応）:\n",
" - s = x + y, t = x - y\n",
" - |t| = d\n",
" - x*y = (s^2 - t^2)/4 = p より s^2 = 4p + d^2\n",
" - N = 4p + d^2\n",
" - N が完全平方で q = sqrt(N) が整数なら:\n",
" s は {+q, -q}（q>0 で2通り、q=0で1通り）\n",
" t は {+d, -d}（d>0で2通り、d=0で1通り）\n",
" 個数 = (1 if q==0 else 2) * (1 if d==0 else 2)\n",
" - d < 0 のときは |x - y| = d を満たせないので 0\n",
" \"\"\"\n",
" # |x - y| = d は d >= 0 が必須\n",
" if d < 0:\n",
" return 0\n",
"\n",
" # N = 4p + d^2\n",
" N: Final[int] = 4 * p + d * d\n",
" if N < 0:\n",
" # 4p が負で d^2 を足しても負になる極端なケース（p が十分に負）\n",
" return 0\n",
"\n",
" # 完全平方判定: math.isqrt は丸め誤差なしの整数平方根\n",
" q: int = math.isqrt(N)\n",
" if q * q != N:\n",
" return 0\n",
"\n",
" s_count: int = 1 if q == 0 else 2\n",
" t_count: int = 1 if d == 0 else 2\n",
" return s_count * t_count\n",
"```\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"cpython\">CPython 最適化ポイント</h2>\n",
"\n",
"* **`math.isqrt`**: 整数の平方根を誤差なく返し、完全平方判定に最適。\n",
"* **任意精度整数**: Python の `int` は任意精度でオーバーフローを気にしない。\n",
"* **分岐の最小化**: 判定順序を $d<0 \\Rightarrow N<0 \\Rightarrow$ 完全平方 の順にして早期リターン。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"edgecases\">エッジケースと検証</h2>\n",
"\n",
"* $d<0$ $\\Rightarrow$ $0$。\n",
"* $N=4p+d^2<0$（大きく負の $p$）$\\Rightarrow$ $0$。\n",
"* $N$ が完全平方でない $\\Rightarrow$ $0$。\n",
"* $d=0$:\n",
"\n",
" * $N=4p$ が完全平方なら $q=2\\sqrt{|p|}$ が整数のとき $s$ は $2$ 通り（ただし $q=0$ なら $1$ 通り）、$t$ は $1$ 通り。\n",
" * 例: $d=0,\\ p=4 \\Rightarrow N=16,\\ q=4 \\Rightarrow 2$。\n",
"* $d=0,\\ p=0$:\n",
"\n",
" * $N=0,\\ q=0 \\Rightarrow 1$（$(0,0)$ のみ）。\n",
"* 代表例との整合:\n",
"\n",
" * $d=1,\\ p=2$: $N=9,\\ q=3>0 \\Rightarrow (2)\\times(2)=4$。\n",
" * $d=0,\\ p=4$: $N=16,\\ q=4>0 \\Rightarrow (2)\\times(1)=2$。\n",
" * $d=-1,\\ p=1$: $d<0 \\Rightarrow 0$。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"<h2 id=\"faq\">FAQ</h2>\n",
"\n",
"* **偶奇条件は確認不要か**\n",
" $s^2=4p+d^2$ より $s^2 \\equiv d^2 \\pmod{4}$。$s$ と $d$ の偶奇が一致するため、$x=(s+t)/2,\\ y=(s-t)/2$ は常に整数になる。\n",
"* **符号付きの $s$ を数える理由**\n",
" $s=\\pm q$ はそれぞれ異なる $(x,y)$ を与える可能性があり、有序対の計数では両方を数える必要がある。\n",
"* **なぜ $O(1)$ か**\n",
" 各テストに対して加減乗算と `isqrt`、数回の比較のみで、入力値の大きさに関わらず定数時間で終わるため。\n",
"\n",
"---\n",
"\n",
"**補足（Mermaid と日本語フォント）**: Mermaid 図で日本語が豆腐になる場合、利用側の CSS で `.mermaid { font-family: \"Noto Sans JP\", sans-serif; }` のように指定してください。\n"
]
}
],
"metadata": {
"language_info": {
"name": "python"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}
Loading